Moyenne géométrique de deux nombres

Définition

La moyenne géométrique de deux nombres \(a\) et \(b\) positifs est \(\sqrt{a\times b}\).

Exemple

La moyenne géométrique de 4 et 16 est \(\sqrt{4\times16}=\sqrt{64}=8\).

Propriété

Trois nombres strictement positifs \(a\), \(b\) et \(c\), tels que \(a<b<c\), sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique lorsque \(b\) est la moyenne géométrique de \(a\) et \(c\), c'est-à-dire \(b=\sqrt{ac}\).

Exemple

Prenons \(a=10\) ; \(b=15\) et \(c=22{,}5\) et vérifions si ces trois termes sont des termes consécutifs d'une suite géométrique. On calcule la moyenne géométrique de \(a\) et \(c\) et si le résultat est \(b\) alors il s'agit bien de trois termes consécutifs d'une suite géométrique.
On a \(\)\(\sqrt{10\times22{,}5}=\sqrt{225}=15=b\).
Donc \(a\), \(b\) et \(c\) sont bien trois termes consécutifs d'une suite géométrique.

Remarque

Pour vérifier si trois nombres non nuls a, b et c sont des termes consécutifs d'une suite géométrique, on peut aussi calculer le quotient de \(a\) par\(\) \(b\), puis celui de \(b\) par \(c\), et vérifier si les deux rapports obtenus sont égaux.
Par exemple, dans le cas où \(a=10\) ; \(b=15\) et \(c=22{,}5\).
On a \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{15}{10}=1{,}5\)  et  \(\dfrac{c}{b}=\dfrac{22{,}5}{15}=1{,}5\).
Ainsi \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}\) et donc \(a\), \(b\) et \(c\) sont bien trois termes consécutifs d'une suite géométrique.